Pregunta:
Demuestre que un aumento de temperatura de 10 grados duplica la constante de velocidad (k), cuando la energía de activación es de aproximadamente 50 kJ / mol
Sam202
2017-01-14 03:03:12 UTC
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Leí que aumentar la temperatura en $ 10 ~ ^ \ circ \ mathrm C $ duplicará la constante de velocidad ($ k $), cuando la energía de activación para la reacción sea relativamente cercana a $ 50 ~ \ mathrm {kJ / mol} $.

Sin embargo, no importa cuánto trate de entenderlo (a través de ejemplos gráficos que requieren trazar el logaritmo natural de $ k $ frente al inverso de la temperatura), simplemente no puedo entender esta llamada "regla de oro".

Como resultado, intenté demostrar esta afirmación a través de expresiones matemáticas:

(Tenga en cuenta que la energía de activación se evaluó en $ 50 \, 000 $ porque debe expresarse en $ \ mathrm {J / mol} $ que se usará en la ecuación de Arrhenius)

Demuestre que ...

Un aumento de temperatura de $ 10 \ \ mathrm {^ \ circ C} $ duplicará la constante de velocidad, cuando la energía de activación para la reacción sea aproximadamente $ 50 \ \ mathrm {kJ / mol} $.

La prueba comienza aquí -----------------------------

Para: $ \ Delta T = T_2 - T_1 $ ($ T_2 $ es la temperatura final y $ T_1 $ la temperatura inicial)

Cuando: $ \ Delta T = 10 \ rightarrow T_2 - T_1 = 10 $

De ello se deduce que: La relación entre $ k_2 $ (a $ T_2 $) y $ k_1 $ (a $ T_1 $) será igual $ 2 $, debido a la duplicación de la constante de tasa ($ k $):

$$ {k_2 \ over k_1} = 2 $$

Empleando la ecuación de Arrhenius :

$$ {k_2 \ over k_1} = {A \ mathrm e ^ {\ left ({- E_ \ mathrm a \ sobre RT_2} \ right)} \ over A \ mathrm e ^ {\ left ({- E_ \ mathrm a \ over RT_1} \ right)}} = \ mathrm e ^ {\ left [{- E_ \ mathrm a \ over R} \ left ({1 \ over T_2} - {1 \ over T_1} \ right) \ right]} = 2 $$

O simplemente:

$$ {k_2 \ over k_1} = \ exp {\! \ left ({- E_ \ mathrm a \ over R} \ cdot \ Delta {1 \ over T} \ right)} = 2 $$

Entonces:

$$ \ exp {\! \ left ({- E_ \ mathrm a \ over R} \ cdot \ Delta {1 \ over T } \ right)} = 2 $$

Esta podría ser la parte en la que me equivoqué ---------------------- ---

$ \ Delta {1 \ over T} $ se puede establecer en términos de $ \ Delta T $:

$$ \ Delta {1 \ over T} = \ left ({1 \ over T_2} - {1 \ over T_1} \ right) = \ left ({T_1 \ over T_1T_2} - {T_2 \ over T_1T_2} \ right) = \ left ({T_1-T_2 \ over T_1T_2} \ right) = \ left ({- \ Delta T \ over T_1T_2} \ right) $$

Dado que la ecuación de Arrhenius anterior es válida para $ \ Delta T = 10 $ ...

Y como $ \ Delta {1 \ over T} $ puede expresarse como $ - \ Delta T \ over T_1T_2 $ ...

Entonces, la constante de tasa ($ k $) se duplicará cuando:

$$ \ Delta {1 \ over T} = {-10 \ over T_1T_2} $$

Sustituyendo en Arrhenius ' ecuación:

$$ \ exp {\! \ left ({- E_ \ mathrm a \ over R} \ cdot {-10 \ over T_1T_2} \ right)} = 2 $$

Simplificando:

$$ \ begin {align} \ exp {\ left ({10E_ \ mathrm a \ over RT_1T_2} \ right)} & = 2 \\ {10E_ \ mathrm a \ over RT_1T_2} & = \ ln {2} \\ {1 \ over T_1 T_2} & = {R \ cdot \ ln {2} \ over 10E_ \ mathrm a} \\ T_1 T_2 & = {10E_ \ mathrm a \ over R \ cdot \ ln {2}} \ end {align} $$

Desde $ T_2 - T_1 = 10 $ podemos resolver $ T_2 $ como $ T_2 = T_1 + 10 $. Sustituyendo arriba:

$$ \ begin {align} T_1 (T_1 + 10) & = {10E_ \ mathrm a \ over R \ cdot \ ln {2}} \\ T_1 ^ 2 + 10T_1 - { 10E_ \ mathrm a \ over R \ cdot \ ln {2}} & = 0 \ end {align} $$

Para $ E_ \ mathrm a = 50 \, 000 $:

$$ T_1 ^ 2 + 10T_1 - {500 \, 000 \ over R \ cdot \ ln {2}} = 0 $$

Resolviendo la ecuación cuadrática:

$ $ \ begin {align} T_1 & = 290 ~ \ mathrm K \\ T_2 & = 300 ~ \ mathrm K \\\ Delta T & = 10 ~ \ mathrm K \ end {align} $$

No creo que esta prueba sea correcta porque la sustitución de cualquier valor de energía de activación ($ E_ \ mathrm a $) en la ecuación cuadrática producirá valores diferentes para $ T_1 $, pero eso no me dice nada.

¿Qué hice mal? ¿Se puede probar de otra manera?

vea [esto] (http://chemistry.stackexchange.com/questions/22153/understanding-and-usage-of-arrhenius-equation/22158#22158) respuesta anterior.
Como ha mostrado, la regla general se aplica a las reacciones que ocurren aproximadamente a temperatura ambiente.
He leído que esto es teórico para algunas reacciones y puede tomarse como una guía, pero de ninguna manera es válido para todo tipo de reacción. Hay que tener mucho cuidado al utilizar esta idea para generalizar a todas las reacciones.
One responder:
#1
+11
hBy2Py
2017-01-14 04:31:43 UTC
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Su método y sus matemáticas parecen perfectamente correctos, y su resultado calculado es correcto. También tiene razón en que el resultado cambiará según el valor de $ E_ \ mathrm a $ que elija .

El problema con el que se está enfrentando es la suposición de que la regla general establecida es exactamente , independientemente de la temperatura. No es así.


Configuraría el problema de la siguiente manera. Considere la relación $ \ rho $ entre la reacción que ocurre a una temperatura Kelvin $ T $ y a $ T + 10 $:

$$ \ rho = {e ^ {- E_ \ mathrm a \ over R \, \ left (T + 10 \ right)} \ over e ^ {- E_ \ mathrm a \ over RT}} = e ^ {{E_ \ mathrm a \ over R} \ left ({1 \ over T} - {1 \ over T + 10} \ right)} = e ^ {{E_ \ mathrm a \ over R} \ cdot {10 \ over {T ^ 2 + 10T}}} $$

Al trazar $ \ rho $ como una función de $ T $ para $ E_ \ mathrm a = 50 ~ \ mathrm {kJ \ over mol} $, queda inmediatamente claro que la regla general no se cumple en un rango de temperatura muy amplio:

Rate ratio versus temp

De hecho, solo se mantiene estrictamente para una temperatura específica, por lo que sus matemáticas lo llevaron a una sola temperatura como respuesta . Según mis cálculos, usando un valor de $ 8.3144598 ~ \ mathrm {J \ over mol \, K} $ para $ R $, esa temperatura es $ 289.56 ~ K $, que es igual a su $ T_1 = 290 ~ K $ dentro de tres cifras significativas.

El cuadro gris en la figura marca donde la regla se mantiene dentro de $ 20 \% $, es decir, donde $ \ rho $ cae entre $ 1,6 $ y $ 2,4 $ . Esto corresponde a un rango de temperatura de $ 257 ~ \ mathrm K $ a $ 353 ~ \ mathrm K $.



Esta pregunta y respuesta fue traducida automáticamente del idioma inglés.El contenido original está disponible en stackexchange, a quien agradecemos la licencia cc by-sa 3.0 bajo la que se distribuye.
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